薛定谔方程中的i曾令许多物理学家困惑，虚数有确切的物理趣味吗？i究竟是量子表面的必要构成部分，也曾只是为了浅易数学运算？很早就有物理学家干脆烧毁i，构建出实数目子力学，但并未取得实考据实。关联词，故事在2025年发生了变化。
撰文 | 一根弦
在物理学发展历史中，量子力学的出生具备里程碑式的趣味。从物理念念想上讲，量子力学的出现突破了经典物理中的“机械决定论”，刷新了东谈主类对微不雅全国的判辨不雅念。从数学结构上看，量子力学的核激情论——薛定谔方程引入了不可摒除的虚数。
那么问题来了：量子力学中对复数的引入只是是数学上的便利，也曾物理学自身的需要呢？自从1926年薛定谔方程惨酷之日起，这个问题就一直在困扰着物理学家。
近些年，跟着东谈主们对量子力学基础及关联实验的盘考贬抑加深，这个老问题又重新引发了物理学家的浓厚兴味[1， 2]。
虚数 VS 量子力学
虚数主意的引入出当今16世纪的意大利，文艺复兴期间的数学家热衷于寻找一元高次方程的通解（编者注：可参见《一次数学比赛，出生了数学上至关迂回的主意》）。1545年，意大利数学家卡尔达诺（Girolamo Cardano，1501-1576）在《大术》（Ars magna）中惨酷了一个驰名的问题：把10分红2个部分，它们的乘积等于40（即求解
1629年，荷兰数学家吉拉德（Albert Girard，1595－1632）断言“n次多项式方程皆有n个根”，包括负根和“不可解数”（虚数）。这等至今天代数基本定理的雏形。其后，法国数学家笛卡尔（René Descartes，1596-1650）惨酷了交流的结论，并在此基础上崇敬引入了“虚数”这一术语。顾名念念义，“虚数”意味着“瞎想中的数”。从取名中不难发现笛卡尔对虚数充满着质疑。
1777年，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707－1783）在论文中初次引入了虚数符
（Carl Gauß，1777－1855）、哈密顿（William Hamilton，1805－1865）等数学家的贬抑完善，复数表面逐渐酿成了一整套完备的表面体系[3]。
图1. 左图：卡尔达诺，第一个崇敬惨酷虚数主意的数学家；中图：笛卡尔，第一个给虚数定名的数学家；右图：欧拉，第一个崇敬界说虚数的数学家。 图源：维基百科
关联词，直到量子力学出现，虚数皆还停留在数学畛域，并未真确干涉到物理学中。原因是：整个的可不雅测量皆必须是实数，复数莫得主义被笔直不雅测到。
施行上，在经典表面中好多场景使用到了复数（譬如，电能源学中对电磁波的面貌就使用了复数），但这些只是是为了数学上的简约和经营上的便利。换句话说，在这些经典表面中，复数的引入并非必须项——只是使用实数也十有余用。杨振宁先生在《20世纪数学与物理的分与合》一文中如是说：“i在量子力学已往也出现过，但是不是基本的，只是一个器具。到了量子力学发展以后，它就不单是个器具，而是一个基本不雅念了。为什么基础物理学必须用这个综合的数学不雅念，虚数i，当今莫得东谈主能解释”[4]。
19266年，薛定谔（Erwin Schrodinger，1887－1961）惨酷了以他的名字定名的方程，方程中有个大大的虚数单元i。使用薛定谔方程经营得到氢原子光谱与实验不雅测高度吻合，薛定谔方程大到手利，这份到手的情愿令东谈主们褊狭地健忘了虚数这个在数学结构上看上去“不太齐备”的东西。
最早对虚数的引入产生质疑的恰正是薛定谔本东谈主。在薛定谔方程惨酷的同庚，在写给洛伦兹的信中，薛定谔抒发了我方的狰狞——“这里（指的是薛定谔方程）最令东谈主不安的是复数的使用，从旨趣上讲，波函数Ψ应该是实函数”。薛定谔留住的大量手稿标明，他一直在寻找一个唯有实数版块的波动方程。
实数目子力学（Real Number Quantum Mechanics）是否果真可行呢？
早期议论精良
无人不晓，一个复数对应复平面上的一个向量，包含一个实部和一个虚部。因此，构建实数目子力学的朴素要津是：用两个实数等价替换掉对应的实部和虚部。
1934年，约尔当（Pascual Jordan，1902－1980）、魏格纳（Eugene Wigner，1902－1995）和冯·诺依曼（John von Neumann，1903－1957）诳骗代数的要津搭建起基于实数目子力学的基础框架。之后，在60年代瑞士物理学家恩斯特·施蒂克尔贝格（Ernst Stueckelberg，1905－1984）将其进一步发展：他到手地把d维的复数表现拓展到了2d维的实数表现，并发展了一套数学手段，在实数域中结束了绕虚轴动弹这么看上去只可在复平面上的操作。
从风景上讲，从基于复数的量子力学（为了加以别离，后文统称“范例量子力学”）变换到基于实数的量子力学（后文统称为“实数目子力学”），只需要对密度矩阵和哈密顿量算符作念如下变换：
实数域的。同理，范例量子力学基于的四个假定不错尽头当然地实行到实数目子力学中。2008年和2009年，两个议论团队通过经营经典贝尔实验中贝尔不等式的最大招架数，解释了实数目子力学与范例量子力学的等价性[5， 6]，使东谈主们对实数目子力学又加多了一份信心。
那么，实数目子力学是否能在职何场景下皆能和范例量子力学保抓一致？或者说，当两者不一致时，孰对孰错呢？
贝尔实验与实数目子力学的“死刑”
1935年，爱因斯坦（Albert Einstein， 1879-1955）、波多尔斯基（Boris Podolsky，尊龙app1896－1966）和罗森（Nathan Rosen，1909-1995）惨酷了驰名的EPR佯谬，向量子力学的完备性发起挑战。1964年，贝尔（John Stewart Bell，1928－1990）基于玻姆（David Bohm，1917－1992）的定域隐变量表面，推导出了特定纠缠态上关联测量称心的基本不等式，被称为贝尔不等式。1969年，克劳泽（John Clauser，1942－）、霍恩（Michael Horne，1943－2019）， 希莫尼（Abner Shimony，1928－2015）和（Richard Holt，据说其后不搞物理了）四位物理学家给出了一个更便于在实验上考试的版块——CHSH不等式（CHSH分别取自四位的姓氏），是贝尔不等式的迥殊情况。
在传统贝尔实验中，有两位分别叫作Alice和Bob的不雅测者（之是以取这个名字是因为两东谈主的首字母分别是A和B）。在Alice和Bob中间有一个EPR纠缠对，这个纠缠对由2个1/2-自旋粒子构成。这么，Alice不雅测的第一个粒子就存在两种可能性——自旋朝上或者向下（为了不失一般性，把Alice不雅测的服从记作A和A’）。Bob不雅测的第二个粒子一样具备两种可能性，把Bob不雅测的服从记作B和B’。
图2 传统贝尔实验默示图。图源：参考文件[7]
界说Alice不雅测到A，同期Bob不雅测到B的关联函数E(A， B)；同理，不错界说E(A， B’)， E(A’， B)和E(A’， B’)，21点游戏并把这四个关联函数组合成S：
S=E(A，B)+E(A，B')+E(A'，B)-E(A'，B')
由于在施行实验中粒子极化率无法作念到齐备的100%，因此实验中测量的S数值为2.697 ± 0.0515[8]。这一服从标明，经典表面十足失效，量子力学大获全胜。
贝尔不等式的考据（或者说贝尔不等式招架），透澈辩说了局域隐变量的表面，笔直揭示了量子力学的基本特征——量子非定域性（non-locality）[9]，这亦然东谈主类初次触摸到了类空距离上的“鬼怪”长程量子关联。对于贝尔不等式的议论使命，在2022年被授予了诺贝尔物理学奖，前文中提到的克劳泽是获奖东谈主之一（再一次印证了在得诺贝尔奖这件事上，活得久短长常迂回的）。
既然贝尔实验不错考试经典表面和量子表面的灵验性，一个自然的想法是贝尔实验是否不错用来考试实数目子力学的正确性？不外，实数目子力学表面给出了和范例量子力学交流的CHSH上限值，换言之，传统的贝尔实验无法用来检测实数目子力学的正确性。
2021年，8位议论东谈主员在《当然》杂志上发表了一篇论文[7]。这篇著述翻新性地惨酷了一个念念维实验，这个实验不错看作传统贝尔实验的纠正版。在这个念念维实验中，使用2个EPR纠缠对和三名不雅察者：Alice、Bob和Charlie。在Alice和Bob之间、Bob和Charlie之间各酿成一个EPR纠缠对（见图3）。在Bob这里会酿成贝尔态，该贝尔态有四种可能性。
图3 进阶版贝尔实验旨趣图。图源：参考文件[11]
不久之后，两支来自中国的科研团队实施了这套实验决议。南边科技大学范靖云团队诳骗光学的实验要津搭建了实验平台[10]，服从透露：纠缠光子之间的关联性远远逾越了实数表面所允许的上限。这标明复数在面貌量子态时是不可或缺的。而中国科学时期大学潘建伟团队则超导量子比特开展了此项实验[11]。实验测量出CHSH3值为8.09， 小于范例量子力学
这一实验服从就像他们论文标题一样谨防：Ruling out real-valued standard formalism of quantum theory（推翻量子力学的实数版块），实数目子力学被潘建伟和范靖云的两个实验判了个“死刑”。
值得一提的是，这两个来自中国的议论团队凭借对实数目子力学的考试实验，到手入选了2022年海外物理学畛域十猛说明[12]。
就在东谈主们认为实数目子力学将永无出面之日时，事情在2025年发生了翻转。
死刑？死缓？
这份移动并非来悛改实验服从的出现或者原有实验被推翻，而是开端于议论东谈主员发现：原
罪过，而是早期的实数目子力学表面自己确乎存在一些问题。
2025年3月，5名德国议论东谈主员（作家见图6）在arXiv网站上挂出了一篇著述[13]，在著述后长达15页的附录中，他们重构了实数版量子力学并用重构后的版块经营出了和范例量子
出一篇著述[14]，以另外一种方式重写了实数版量子力学。
图7 左图为文件[14]的第一作家Timothée Hoffreumon，右图为文件[14]的第二作家Mischa Woods。图源：参考文件[1]
尽管两篇论文数学起点略有不同，但皆同期谨慎到了早期实数目子力学框架的致命毛病：范例量子力学称心“表现局域性”的（representation-local），但原来的实数目子力学不具备这么的性质。
图8 表现局域性默示图。当两个莫得互相作用的体系中的一个体系受到影响或者发生变化时，另外一个体系若是不发生变化，那么这么的表面面貌就具备表现的局域性，反之则不具备。
何为“表现局域性”？以图8为例：假定存在两个十足寂寞的量子系统，掌握两个系统分别处于为ρ量子态和σ量子态，此时通盘系统可表现为ρ⨂σ。
当左侧体系发生变化时（比如一束激光打过来），左体系由量子态ρ变成量子态ρ'，其数学表现为ρ'=h(ρ)。由于掌握两个体系之间不存在互相作用，因此右体系仍处于σ量子态，此时通盘系统可表现为ρ'⨂σ=h(ρ)⨂σ。若是一个表面称心此性质，那么这么的表面面貌就具备表现局域性。范例量子力学可作念到这少许，但早期的实数目子力学就无法作念到——在早期实数目子力学框架中，由于笔直套用了范例量子力学中的张量积规则界说，导致在面貌这么的系统时，必须使用h'(ρ⨂σ) 能力面貌变化后的体系。也等于说，皆是张量积运算⨂使得实数目子力学出现了表现不定域的局面。正是这个原因导致了在进阶版的贝尔实验中，实数目子力学给出了与范例量子力学不一致的经营服从。
为了处理这个问题，两个议论团队皆在实数域中对范例张量积（Tensor Product）进行改写，最终灵验地处理实数目子力学的表现局域性问题。张量积的改写经过波及较为深邃的数学常识，咱们打个譬如来试图交融通盘经过：在笔直空间内，直角三角形的三条边长撤职勾股定理，即a^2+b^2=c^2，但是这么的限定在非笔直空间中十足失效（非欧几何）。换句话说，勾股定理只是直角三角形在笔直空间的一种迥殊情况良友。
张量积的骨子是矢量组合的运算规则，张量积的运算规则不错保证复数域内量子力学的表现局域性，但不成保证其在其他数域（比如实数域）的表现局域性，就像勾股定理固然在笔直空间灵验，但在非欧空间中失效一样。要保证其他数域下表现局域性就不成照猫画虎张量积在复数域中运算法例，而是需要找到通用的矢量组合规则。因此，来自德国和法国的两个科研团队分别在实数域内创造出了不同的矢量-矢量组合规则，重新构建了实数值量子表面。这些表面大约称心表现局域性，况兼给出了与范例量子表面十足交流的瞻望服从。
图9 文件[13]的临了，通过重新构建的实数目子力学经营出了进阶版贝尔实验的CHSH3上限值为62，与范例量子力学经营得到的服从十足一致。
图10 多体实数目子力学与多体范例量子力学的对应映射洽商图
趁便说一句，文件[13]潜入盘考了当多体量子表面从复数变化到实数时，维度增多了——原来的d维空间变成了2d维空间。多出来的维度可通过U(1)全局对称性消撤退。因此，多体实数域的希尔伯特空间的商空间和范例复数域的希尔伯特空间是十足同构的。
结语
2025年出当今arXiv上的两篇论文修正了原来实数目子力学表面框架的问题，并给出和范例
经过此番修正，实数目子力学是否在职何情况下皆不错达到与范例量子力学十足一致的经营服从？是否存在更进阶版块的贝尔实验（比如实验中引入3个或者更多的EPR纠缠对）来辩说现时的实数目子力学表面体系呢？换句话说，这么的修正是否只是一次小修小补，现时的表面体系仍旧存在着弘大的bug？
或者，一种愈加哲学的不雅点是：即便东谈主类找到了与范例量子力学十足等价的实数版块的量子力学，发现复数版块的量子力学愈加字雕句镂，临了仍旧免不了要以复数版块的量子力学为准，那么对实数目子力学的探索和寻找是不是自己等于奢靡的呢？对量子力学基础的探索道路仍然远处，让咱们翘首跂踵吧。
参考文件
[1] Physicists Take the Imaginary Numbers Out of Quantum Mechanics， Quantum Physics， https://www.quantamagazine.org/physicists-take-the-imaginary-numbers-out-of-quantum-mechanics-20251107/
[2] Imaginary Numbers May Be Essential for Describing Reality， Quantum Physics， https://www.quantamagazine.org/imaginary-numbers-may-be-essential-for-describing-reality-20210303/
[3] 陆俊，复数与复数测量学问录，物理 (2020) http://www.wuli.ac.cn/cn/article/pdf/preview/10.7693/wl20200709.pdf
[4] 杨振宁，20世纪数学与物理的分与合， 民众科学， 第10 期， (2008)
[5] Károly F. Pál and Tamás Vértesi，Efficiency of higher-dimensional Hilbert spaces for the violation of Bell inequalities， Phys. Rev. A 77， 042105 (2008)
{jz:field.toptypename/}[6] Matthew McKague， Michele Mosca， Nicolas Gisin， Simulating Quantum Systems Using Real Hilbert Spaces， Phys. Rev. Lett. 102， 020505 (2009)
[7] Renou， MO.， Trillo， D.， Weilenmann， M. et al. Quantum theory based on real numbers can be experimentally falsified. Nature 600， 625–629 (2021). https://doi.org/10.1038/s41586-021-04160-4
[8] S. Weinberg， Lectures on Quantum Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. (2013).
[9] 崔廉相，许康，张芃，孙昌璞，贝尔不等式的量子招架尽头实验考试——兼议2022 年诺贝尔物理学奖，物理，52卷（2023）
[10] Zheng-Da Li et al， Testing Real Quantum Theory in an Optical Quantum Network， Phys. Rev. Lett. 128， 040402 (2022).
[11] Ming-Cheng Chen et al， Ruling Out Real-Valued Standard Formalism of Quantum Theory， Phys. Rev. Lett. 128， 040403 (2022).
[12] 好意思国物理学会（APS）旗下的Physics网站公布评比出的2022年物理畛域十项要紧说明：https://physics.aps.org/articles/v15/197
[13] P.B. Hita et al， Quantum mechanics based on real numbers: A consistent description， arXiv:2503.17307(2025)
[14] T. Hoffreumon， M. P. Woods， Quantum theory does not need complex numbers， arXiv:2504.02808(2025)
作家简介
一根弦，中关村文理学院非优秀毕业生。博士期间主业发展原子核集体引发态表面，副业探问八卦新闻。因帝皆房价高企加上错信IT高薪听说，误入码农行列，逃离北京来到卷皆杭州。除全员使命外，分别在知乎以“一根弦”和在B站以“一根弦肥二”的网名挖掘和写稿物理学家，并以此为乐。
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